4 随机变量更多话题(Further Topics on Random Variables)
4.1 分布的推导(Derived Distributions)
是连续随机函数,
是
的函数
,若要计算
的概率密度函数:
- 计算
的累积分布函数:
- 微分获得概率密度函数:
- 若
是线性函数,具有形式
,其中
为标量且
,则:
- 若
是连续随机函数
的严格单调函数,则必然有反函数
满足
- 假设
是可微的,则:
4.2 协方差(Covariance)
- 随机变量
与
的协方差定义为:
- 若
,则
与
是不相关的(uncorrelated)
- 若
与
相互独立,则
4.3 相关性系数(Correlation Coefficient)
- 随机变量
与
的相关性系数定义为:
- 相关性系数满足:
4.4 条件期望和方差的属性(Properties of the Conditional Expectation and Variance)
是一个取值依赖于
的值
是随机变量
的一个函数,因此也是一个随机变量,在
取值为
时,其值为
- 迭代期望定律(Law of Iterated Expectations)
是随机变量
的一个函数,因此也是一个随机变量,在
取值为
时,其值为
- 全方差定律(Law of Total Variance)
可以被视为在给定
情况下,
取值的一个估计值(estimate)
是估计误差,该误差是一个期望为
,且与
独立的随机变量
To Be Continued