欧拉公式

这是正在写的一本数学和Python的小书中的一节,感兴趣的移步 http://ryancheunggit.gitbooks.io/calculus-with-python/

欧拉公式(Euler's Formula)

在[2.1](01Functions.md)中给出了指数函数的多项式形式:
e^x =1+frac{x}{1!}+frac{x^2}{2!}+dots = sum_{k = 0}^{infty}frac{x^k}{k!}

接下来我们不仅暂时不去解释上式是如何来的,而是更丧心病狂地丢给读者两个有关三角函数的类似式子:

sin(x) = frac{x}{1!}-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+dots = sum_{k = 0}^{infty}{(-1)}^kfrac{x^{(2k+1)}}{(2k+1)!}
cos(x) = frac{x^0}{0!}-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+dots = sum_{k = 0}^{infty}{(-1)}^kfrac{x^{2k}}{(2k)!}

在中学数学中,我们都接触过虚数(Imaginary Number)的概念,这里我们对其来源和意义暂不讨论,只是简单回顾一下其基本的运算规则:
i^0=1,quad i^1=i,quad i^2=-1,quad i^3=-i
i^4=1,quad i^5=i,quad i^6=-1,quad i^7=-i

ix带入指数函数的公式中,我们获得:
e^{ix}=frac{(ix)^0}{0!}+frac{(ix)^1}{1!}+frac{(ix)^2}{2!}+frac{(ix)^3}{3!}+frac{(ix)^4}{4!}+frac{(ix)^5}{5!}+frac{(ix)^6}{6!}+frac{(ix)^7}{7!}+dots
qquad =frac{i^0x^0}{0!}+frac{i^1x^1}{1!}+frac{i^2x^2}{2!}+frac{i^3x^3}{3!}+frac{i^4x^4}{4!}+frac{i^5x^5}{5!}+frac{i^6x^6}{6!}+frac{i^7x^7}{7!}+dots
qquad = 1frac{x^0}{0!}+ifrac{x^1}{1!}-1frac{x^2}{2!}-ifrac{x^3}{3!}+1frac{x^4}{4!}+ifrac{x^5}{5!}-1frac{x^6}{6!}-ifrac{x^7}{7!}+dots
qquad = (frac{x^0}{0!}-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+dots)+i(frac{x}{1!}-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+dots)
qquad = cos(x)+isin(x)

此时,我们便获得了著名的欧拉公式:e^{ix} = cos(x)+isin(x)
特别地,令x=pi时:e^{ipi}+1=0

欧拉公式在三角函数、圆周率、虚数以及自然指数之间建立的桥梁,在很多领域都扮演着重要的角色。

如果你对欧拉公式的正确性感到疑惑,不妨在Python中验证一下:

将函数写成多项式形式有很多的好处,多项式的微分和积分都比较容易。现在你知道了e^x,sin(x),cos(x)的多项式形式,不妨用其去验证一下中学书本中强行填塞给你这几个公式:
frac{d}{dx}e^x=e^x

frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)

frac{d}{dx}cos(x)=-sin(x)

喔,对了,这一章怎能没有图呢?收尾前来一发吧:

03-01 polar with complex

想要理解这张图的几何意义的话,就请继续学习吧少年!

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