极限

这是正在写的一本数学和Python的小书中的一节,感兴趣的移步 http://ryancheunggit.gitbooks.io/calculus-with-python/

极限(Limits)

函数的极限,描述的是输入值在接近一个特定值时函数的表现。

定义:我们若要称函数f(x)x=a处的极限为L即:lim_{xrightarrow a}f(x)=L,则需要:
对任意一个epsilon  data-recalc-dims= 0" />,我们要都能找到一个delta  data-recalc-dims=0" />使得当x的取值满足0<|x-a|<delta|f(x)-L|<epsilon

本节的重点内容其实是用Python画图...:

05-01 limit

下面尝试用上面的定义来证明lim_{xrightarrow 4}x^2-2x-6=2:
依据定义,我们需要show的是:对于任意epsilon,能找到一个delta使得:0<|x-4|<delta时有|f(x)-2|<epsilon
注意到|f(x)-2|=|x^2-2x-6-2|=|(x-4)(x+2)|=|x-4|cdot|x+2|,其中我们已经知道|x-4|<delta
依三角不等式有:|x+2|=|x-4+6|leq|x-4|+6<delta+6
因此|f(x)-2|=|x-4|cdot|x+2|<deltacdot (delta+6)
现在我们只需要找到一个delta满足deltacdot (delta+6)leqepsilon即可
动用一些中学时候的二元一次方程知识应该很容易证明这样的delta  data-recalc-dims=0" />是存在的,或者我们只要令delta=min(1,frac{epsilon}{7})即可使得delta leq frac{epsilon}{7}delta +6leq 7,因而deltacdot (delta+6)leqepsilon

Python中求该极限方法如下:

上图中的函数就是f(x)=x^2-2x-6,并且epsilon=4,delta=0.3

至于趋近于infty的极限定义,就留给读者自己回忆啦。

函数的连续性

极限可以用来判断一个函数是否为连续函数。
当极限lim_{xrightarrow a}f(x)存在,且lim_{xrightarrow a}f(x)=f(a)时,称函数f(x)在点x=a处为连续的。 当一个函数在其定义域中任何一点处均连续,则称该函数是连续函数。

泰勒级数用于极限计算

我们在中学课本中一定记忆了常见的极限,以及极限计算的规则,这里我们便不再赘言。泰勒级数也可以用于计算一些形式比较复杂的函数的极限。这里,仅举一例:
lim_{xrightarrow 0}frac{sin(x)}{x}=lim_{xrightarrow 0}{frac{frac{x}{1!}-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+dots}{x}}
qquad = lim_{xrightarrow 0}{frac{x(1-frac{x^2}{3!}+frac{x^4}{5!}-frac{x^6}{7!}+dots)}{x}}
qquad = lim_{xrightarrow 0}{1-frac{x^2}{3!}+frac{x^4}{5!}-frac{x^6}{7!}+dots}
qquad = 1

洛必达法则(l'Hopital's rule)

利用泰勒级数来计算极限,有时也会陷入困境,例如:求极限的位置是在我们不知道泰勒展开的位置,或者所求极限是无穷的。通常遇到这些情况我们会使用各种形式的洛必达法则,读者可以自行回顾一下这些情形,这里我们仅尝试说明frac{0}{0}形式的洛必达法则为何成立。
如果fg是连续函数,且lim_{xrightarrow a}f(x)=0,quad lim_{xrightarrow a}g(x)=0。若lim_{xrightarrow a}frac{f'(x)}{g'(x)} 存在,则:
lim_{xrightarrow a}frac{f(x)}{g(x)}=lim_{xrightarrow a}frac{f'(x)}{g'(x)}

若分子分母同时求导后仍然是frac{0}{0}形式,那么便重复该过程,直至问题解决。   运用泰勒级数,我们很容易可以理解洛必达法则为什么会成立:
lim_{xrightarrow a}{frac{f(x)}{g(x)}}=lim_{xrightarrow a}{frac{f(a)+frac{f'(a)}{1!}(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+dots}{g(a)+frac{g'(a)}{1!}(x-a)+frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+frac{g'''(a)}{3!}(x-a)^3+dots}}
qquad = lim_{xrightarrow a}{frac{frac{f'(a)}{1!}(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+dots}{frac{g'(a)}{1!}(x-a)+frac{g''(a)}{2!}(x-a)^2+frac{g'''(a)}{3!}(x-a)^3+dots}}
qquad =lim_{xrightarrow a}{frac{f'(a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)+frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^2+dots}{g'(a)+frac{g''(a)}{2!}(x-a)+frac{g'''(a)}{3!}(x-a)^2+dots}}
qquad = lim_{xrightarrow a}frac{f'(x)}{g'(x)}
感兴趣的读者可以自己尝试去验证一下其他形式的洛必达法则。

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