微分方程笔记 9 线性微分方程

9 线性微分方程

9.1 线性(linearity)

例子
考虑如下问题:
一个容积200升的容器中有100升盐水,盐的含量为1000克。假设盐浓度35克每升的盐水以每分钟4升的速度注入容器,完全混合的溶液以每分钟2升的速度流出。
用微分方程描述该容器内盐的含量,则盐含量的变化率为盐流入的速率减去盐流出的速率:

frac{ds}{dt}= 35times 4 - 2frac{s}{100+(4-2)t}
qquad = 140 - frac{s}{50+t}

加上s(0)=1000,我们便获得了一个初值问题。

本节内容便是讨论如何解这一类的微分方程。

线性微分方程
我们称一阶微分方程frac{dy}{dt}=f(t,y)是线性的,如果其可以写成如下形式:

frac{dy}{dt}=a(t)y+b(t)

即右边能写成因变量(这里是y)的线性函数的形式。

齐次与非齐次
对于线性微分方程,又分两大类:

  1. 齐次(homogeneous),b(t)=0
  2. 非齐次(nonhomogeneous),b(t)neq 0

例如:

  • 线性且齐次:frac{dy}{dt}=(cost)y
  • 线性非齐次:frac{dy}{dt}=y-t^2
  • 非线性: frac{dy}{dt}=y^2

我们上面获得的盐水问题就是线性非齐次的。

线性齐次=可分
注意到线性齐次微分方程式是我们之前所提到的可分微分方程,可以通过两边同除以y后同时积分的方法来求解。

frac{dy}{dt}=a(t)y
frac{1}{y}frac{dy}{dt}=a(t)
int frac{1}{y}dy = int a(t)dt

看一个具体的线性齐次微分方程的例子:

frac{dy}{dt}=frac{-ty}{1+t^2}
frac{1}{y} frac{dy}{dt} = frac{-t}{1+t^2}
int frac{1}{y} dy = int frac{-t}{1+t^2} dt
ln(y) = -frac{1}{2}ln(1+t^2) + C
ln(y) = ln(frac{1}{1+t^2}) + C
y = (frac{1}{sqrt{1+t^2}})(e^C)
y = (frac{1}{sqrt{1+t^2}})(C)
y(t) = frac{C}{sqrt{1+t^2}}

斜率场和若干个解的图如:

09-01slopeFieldofHomo

可以看出其各个解之间的差距只是k值得不同。如果获得了一个解,便可以通过乘以一个值得方法来获得任何一个其他解。

齐次微分方程的线性原理(The Linearity Principle for Homogeneous Equations)
如果y_h(t)是一个齐次线性微分方程frac{dy}{dt}=a(t)y的解,那么将其乘以任何一个常数k获得的y_k(t)=ky_h(t)也同样是一个解。

检该原理非常简单:

frac{dy_k}{dt}=k(frac{dy_h}{dt})
qquad = k(a(t)y_h)
qquad = a(t)(ky_h)
qquad = a(t)(y_k(t))

一阶方程的扩展线性原理(The Extended Linearity Principle for First-Order Equations)

考虑一个一阶非齐次线性方程(NHE):

frac{dy}{dt}=a(t)y + b(t)

以及其对应的齐次方程(AHE):

frac{dy}{dt}=a(t)y

  1. 如果y_h(t)是齐次方程的任意一个解,而y_p(t)是相应的非齐次方程的任意一个解,那么y_h(t)+y_p(t)也是该非齐次方程的一个解。
  2. y_h(t)y_p(t)分别是非齐次方程的两个解,那么y_h(t)-y_p(t)是相应齐次方程的一个解。

因此,如果y_h(t)y_p(t)分别是NHE和AHE的两个一般解,且y_h(t)非零,则ky_h(t)+y_p(t)是非齐次方程的一般解。

即:

一个非齐次线性方程的一般解可由(非齐次方程的任意一个解)和(相应齐次方程的一般解)相加获得

例子,非齐次线性方程:
frac{dy}{dt}=frac{-ty}{1+t^2}+frac{2t^2+1}{4t^2+4}
现在知道其有一个特殊解y_p(t)=frac{t}{4}

通过上面,我们已经知道对应的齐次线性方程的一般解为:
y(t) = frac{C}{sqrt{1+t^2}}

因此上述非齐次方程的其一般解为:
y(t) = frac{t}{4} + frac{C}{sqrt{1+t^2}}

 

09-02slopeFieldofNonHomo

 

这个非齐次的线性方程的斜率场和解,可以看成是对应的齐次线性方程斜率场合解调整后的结果。

例题:
若已知y_p(t)=frac{a}{t^2}是微分方程frac{dy}{dt}=2ty-frac{6}{t^2}-frac{6}{t^3}的一个特殊解,(1)求a的值,(2)求方程的一般解,(3)求y(1)=3+2e初值问题的解。

(1):

frac{dy_p(t)}{dt}=frac{d}{dt}frac{a}{t^2}
qquad = -2at^{-3}

frac{dy}{dt}=2ty-frac{6}{t^2}-frac{6}{t^3}
qquad = 2tfrac{a}{t^2}-frac{6}{t^2}-frac{6}{t^3}
qquad = frac{2a-6}{t}-frac{6}{t^3}

 

因此有:frac{2a-6}{t}-frac{6}{t^3}= -2at^{-3}
求解出:a=3

因此得到非齐次线性方程的一个一般解:frac{3}{t^2}

(2):
对应的齐次线性方程为:frac{dy}{dt}=2ty

用分离变量法不难求得其一般解为:Ce^{t^2}

因此非齐次方程的一般解为:y(t)=y_p(t)+y_h(t)=frac{3}{t^2}+Ce^{t^2}

(3)
带入初值到一般解中,求出C=2,因此初值问题解为:y(t)=frac{3}{t^2}+2e^{t^2}

 

9.2 猜解法

对于一个给定的非齐次线性方程,通过如下方法求解一般解:
1. 解对应的齐次线性方程
2. 猜测出非齐次方程的一个特殊解
3. 将两者相加获得非齐次线性方程的一般解

例子:
frac{dy}{dt}= -2y+3e^{-t/2}
对应的齐次方程为:
frac{dy}{dt}=-2y
其一般解为:y(t)=Ce^{-2t}

对非齐次方程进行变换
frac{dy}{dt}+2y=3e^{-frac{t}{2}}
考虑什么函数求导后加上2倍的本身可以获得3e^{-frac{t}{2}}

猜测:

y_p=alpha e^{-t/2}
frac{dy_p}{dt}+2y_p
qquad = -frac{alpha}{2}e^{-frac{t}{2}}+2alpha e^{-frac{t}{2}}
qquad = frac{3}{2}alpha e^{-frac{t}{2}}

alpha = 2时,y_p(t)= 2e^{-frac{t}{2}}为非齐次方程的一个特殊解,因此获得一般解为:
y(t)=2e^{-frac{t}{2}}+Ce^{-2t}

看一看方程的解和斜率场,洋红色的一条线代表的是上面我们求出的特殊解,注意到所有的解在随着trightarrow infty时,都在趋近于我们求出来的特殊解:

09-03GuessEx1

 

例子2:

frac{dy}{dt}=-y+2cos(4t)
对应齐次方程的一般解为:y_h(t)=Ce^{-t}

猜测:

 

y_p = alpha cos4t + beta sin4t
frac{y_p}{t}+y
qquad = 4alpha sin4t -4beta cos4t + alpha cos4t + beta sin4t
qquad = (4alpha + beta)sin4t + (alpha - 4beta)cos4t

要使得其等于2cos4t,获得方程组:

begin{cases} 4alpha+beta = 0 alpha-4beta =2 end{cases}
implies
begin{cases} alpha = frac{2}{17}  beta = frac{8}{17} end{cases}

 

因此获得非齐次方程的特殊解:
y_p(t) = frac{2}{17}cos4t + frac{8}{17}sin4t
方程的一般解为:
y(t)=frac{2}{17}cos4t + frac{8}{17}sin4t+Ce^{-t}

看一看方程的解和斜率场,蓝色的一条线代表的是上面我们求出的特殊解,注意到所有的解在随着trightarrow infty时,都在趋近于我们求出来的特殊解,因此这个特殊解又称为稳态解(steady state solution)

09-04GuessEx2

 

例子3:
frac{dy}{dt}=-3y+2e^{-3t}
相应齐次方程的一般解为:Ce^{-3t}
猜测y_p(t)=alpha e^{-3t},将不会有效果,我们永远不应该猜测齐次方程的解为对应非齐次方程的解。
而是猜测:

y_p(t)=alpha t e^{-3t}
frac{dy_p}{dt}+3y_p = alpha (e^{-3t}-3te^{-3t}) + 3alpha t e^{-3t}
qquad = alpha e^{-3t}

要其为2e^{-3t},则需要alpha = 2

因此特殊解为:y_p(t) = 2te^{-3t}
一般解为:(k+2t)e^{-3t}

同样看看图:

09-05GuessEx3

9.3 神奇函数(积分因子 integrating factor)

将非齐次方程frac{dy}{dt}=a(t)y+b(t)进行改写为frac{dy}{dt}+g(t)y=b(t)
即,令g(t) = -a(t)

注意到,此时微分方程的左边frac{dy}{dt}+g(t)y"看上去像"是用乘积法则求导后的结果。

我们希望找到一个函数mu (t)使得mu (t) (frac{dy}{dt} + g(t)y) = frac{d}{dt}(mu(t)y)能够成立。

mu (t)frac{dy}{dt} + mu (t) g(t)y = mu (t) frac{dy}{dt} + frac{dmu}{dt}y
frac{dmu}{dt} = mu (t) g(t)
frac{dmu}{dt} = g(t) mu

得到一个线性的齐次方程
其解为mu (t) = ke^{int g(t)dt},因为我们只需要任意一个解就可以了,令k=1获得一个满足条件的函数mu (t) = e^{int g(t)dt}

在原方程两边同时乘以mu (t),便可以求解了。

方法小结:
1. 给定一个非齐次微分方程:frac{dy}{dt}+g(t)y = b(t)
2. 令积分因子为:mu (t) = e^{int g(t)dt}
3. 方程两边同时乘以积分因子获得:frac{d}{dt}(mu (t)y)=mu (t)b(t)
4. 两边同时针对t进行积分:mu (t)y = int mu(t)b(t)dt

例子:
方程:frac{dy}{dt}= frac{y}{t}+tcost
积分因子为:mu (t) = e^{int -frac{1}{t}dt} = e^{-ln(t)} = e^{ln(frac{1}{t})}=frac{1}{t}
两边同乘积分因子:

frac{1}{t}frac{dy}{dt} - frac{1}{t} frac{y}{t} = cost
frac{1}{t}(frac{dy}{dt}) - frac{1}{t^2}y = cost
frac{d}{dt}(frac{1}{t}y)=cost

两边同时积分:

frac{1}{t}y = sint + k
y(t) = tsint + kt

从上到下分别为k = 1, k = 0, k = -1的解

09-06FactorPlot1
回到本节开始时候的方程:
frac{ds}{dt}= 140 - frac{s}{50+t},qquad s(0) = 1000
frac{ds}{dt} + frac{s}{50+t} = 140

积分因子为:

mu(t) = e^{int frac{1}{50+t}dt} = e^{ln(50+t)} = 50+t

方程两边同时乘以积分因子:

(50+t)frac{ds}{dt} + s = 140(50+t)
frac{d}{dt}((50+t)s) = 140(50+t)

两边同时积分:
(50+t)s = 7000t + 70t^2 + k
s(0) = 1000带入上式获得k = 50000

得到最终解:

s = frac{7000t + 70t^2+50000}{50+t}

 

 

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