微分方程笔记 8 分歧

分歧(Bifurcations)

本节关注的是,根据参数值的不同,微分方程解的长远表现会有怎样的不同。

分歧:参数值发生很小变化,解的长远表现发生很大的变化。

回顾之前介绍的罗吉斯特增长模型:
frac{dP}{dt}=kP(1-frac{P}{N})
现假设用该模型描述养鱼场鱼类的繁殖,并考虑加入一个每年固定的捕鱼率C
frac{dP}{dt}=kP(1-frac{P}{N})-C
模型中参数有3个:k,NC,假设k,N均限定不变,只余C是可变的,考察改变C的值,对方程解的长远表现有何影响。

首先考虑到kP(1-frac{P}{N})是开口朝下的抛物线,若要方程有平衡解,则需要C小于抛物线的最大值,即:
Cleq frac{kN}{4}

考虑同类型方程中更简单一点的例子:
frac{dy}{dt}=y(1-y)-a
其中a为参数,试看调整a的值,导致的相线变化:

08-01phaseLines
如果将上图中各个红点链接起来就获得了分歧图(bifurcation diagram),抛物线所向的一面是有平衡解的范围,相反则是无平衡解的范围,分歧值(bifurcation value)出现在a=frac{1}{4}。称a<frac{1}{4}的所有系统是性质上等效(qualitatively equivalent),称ageq frac{1}{4}的所有系统是性质上等效的。

另一个例子:
frac{dy}{dt}=y^3-ay

 

08-02bifurcationDiagram.png

 

绘制其分歧图,则只需要将上图中红点链接起来即可。

 

 

08-03bifurcationDiagramBetter.png

分歧点可能不止一个,例如:

frac{dy}{dt}= (y^2-alpha)(y^2-4)
分歧点有两个,a=0a=4

见分歧图:

08-04ex.png

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