微分方程笔记 7 自治微分方程和相线

自治微分方程

自治微分方程指的是frac{dy}{dt}=f(y(t))的右边是只包含y的函数的微分方程。例如前面章节出现的人口增长模型。

任何自治微分方程都是变量课分离的,但是积分可能会很困难。

给定一个自治微分方程的解,将其沿着水平方向横移,我们可以获得很多组不同的解。

例如之前也出现过的frac{dy}{dt}=y(1-y)

04-07SpecialCase2

对于自治微分方程,斜率场中的冗余信息太多,用**相线(phase line)**来简洁地表示这些信息。

微分方程frac{dy}{dt}=y(1-y)的平衡解为y(t)=0y(t)=1
1. 在y data-recalc-dims=1" />的区域,frac{dy}{dt}<0,即形为y(t_0)=y_0, y_0  data-recalc-dims=1" />的初值问题,随着t的增加,函数值终会收敛于y(t)=1
2. 在y<0的区域,frac{dy}{dt}<0,即形为y(t_0)=y_0, y_0 <0的初值问题,随着t的增加,函数值终会收敛于y(t)=-infty
3. 在0<y<1的区域,frac{dy}{dt} data-recalc-dims=0" />,即形为y(t_0)=y_0, 0<y_0 <1的初值问题,,随着t的增加,函数值终会收敛于y(t)=1

用一根直线表示y(t)的值,用点表示平衡解,用箭头表示各个区域的初值问题,随着t的增加,y(t)值的走向:

07-01phaseLine

练习:画出frac{dy}{dt}=y^2-4y-12的相线

07-02phaseLine2

练习:画出frac{dy}{dt}=y^2cosy的相线

07-03phaseLine3
绘制frac{dy}{dt}关于y的函数图,有助于绘制相线。

 

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