微分方程笔记 6 解的存在性和唯一性

微分方程解的存在性和唯一性

微分方程的定义域

frac{dy}{dt}=f(t,y)
定义微分方程的定义域为:
所有使得f(t,y)有意义的t-y平面范围。

例如:
frac{dy}{dt} = y^3+t^2
frac{dy}{dt} = y^2
的定义域都是整个t-y平面
frac{dy}{dt} = frac{y}{t}
的定义域是整个t-y平面除去y坐标

存在性定理:

如果f(t,y(t))在范围{(t,y)| a<t <b, c< y< d}内是连续的,给定一个在该范围内的初值y(t_0)=y_0,则存在一个epsilon  data-recalc-dims=0" />,当t_0-epsilon < t < t_0 + epsilon 时,初值问题有解。

例如:
frac{dy}{dt}=1+y^2,qquad y(0) = 0
方程右边1+y^2t-y平面是连续的,满足定理条件。
通过分离变量法求得y(t)=tan(t+C)
带入初值,求出C = 0,因此解为y(t)=tan(t)

 

知道tan(t)的定义域为(-frac{pi}{2},frac{pi}{2})
意味着本例子中epsilon = frac{pi}{2}

唯一性定理

先看一个微分方程初值问题的例子:
frac{dy}{dt}=sqrt[3]{y}sin(2t), qquad y(0)=0
考虑下面三个函数,看函数图:
1. 蓝色(平衡解):
y_1(t) = 0, forall t in mathbb{R}
2. 黑色:
y_2(t) = sqrt{frac{8}{27}}sin^3t
3. 红色:
y_2(t) = -sqrt{frac{8}{27}}sin^3t

 

06-01threeSolutions

这三个函数都是微分方程的解(第一个是平衡解)。

唯一性定理:
如果f(t,y)以及partial f/partial y范围{(t,y)| a<t <b, c< y< d}内都是连续的,给定一个该范围内的初值(t_0,y_0),则存在一个epsilon  data-recalc-dims=0" />,当t_0-epsilon < t < t_0 + epsilon 时,该初值问题有唯一解。

注意到上例中的偏微分

 

frac{partial f}{partial y}= frac{sin(2t)}{{3y}^{frac{2}{3}}}
y不可取0,因而不是连续的,因此违背唯一性定理。

如果我们将定义域限定为y  data-recalc-dims= 0" />,则原微分方程的有效初值问题均有唯一解。

例子

frac{dy}{dt}=-2ty^2,frac{partial f}{partial y}=-4ty
注意到f(t,y)partial f/ partial yt-y平面上均连续,因此微分方程不仅有解,给定初值则解为唯一解。

回到上节结束时的例子:

05-01EulerVsField

frac{dy}{dt}=e^{t}siny,qquad y(0)=5
如果只看欧拉方法获得的近似解,会很让人迷惑。

因为f(t,y)t-y平面是连续的,由存在性定理知道微分方程有解。
并且frac{partial f}{partial y}=e^{t}cos(y)t-y平面也是连续的,由存在性定理知道微分方程有唯一解。
注意到y(t)=kpi, k in mathbb{R}是方程的平衡解。
而在kpi < y < (k+1)pi范围内,根据k的取值不同,frac{dy}{dt}要么全为正,要么全为负,即无论初值如何,随着t的增加,y(t)总会收敛于kpi

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