微分方程笔记 4 斜率场

斜率场

斜率场(slope field)

微分方程frac{dy}{dt}=f(t,y(t))的右边:f(t,y(t))定义了一个斜率场,即在t-y平面上的一张可以用来描述该微分方程的图。

t-y平面上的任意一点(t_i,y_i),则f(t_i,y_i)表示的是经过该点的微分方程解在该点处切线的斜率。
例如之前章节中涉及的微分方程:frac{dy}{dt}=-2ty^2

知道其解形式为:y(t) = frac{1}{t^2+C}
若给定初值y(0)=2,其解为:y(t)=frac{1}{t^2+frac{1}{2}}

下面列举该解所经过的几个点,以及相应位置切线的斜率:

(t,y) f(t,y) y'(t)
(0,2) 0 0
(-1,23) 89 89
(1,23) 89 89

绘图表示为:

04-01threePointSlopes

下面是微分方程的斜率场,箭头代表的含义是:取t-y平面上的一个点,找到经过该点的微分方程的解(函数y(t)),求出该函数在该点处切线的方向,将该方向用箭头表示。

04-02SlopeFields

在斜率场图中,任选一点,可以不断沿着斜率方向向前、向后绘制出函数图,而该函数图即为经过所选点的微分方程的解。
下面绘制出微分方程frac{dy}{dt}=y-t的斜率场,并且选中若干点:(2,4),(1,3),(0,2),(2,0),(2,1),(1,1),(0,0),分别绘制出相应的解的函数图。

04-03LinesInField

exercise:

绘制y'=y/2 + (.2)(t-1)^2的斜率场,找到经过(5,5)的解。

04-04Ex

特例1

两个值得我们特别注意的特例:
frac{dy}{dt}=f(t)
即右边只包含t,若给定一个tt_0,则经过该点垂直于t轴的直线t=t_0上的任意一点在斜率场中的方向均相同(平行)。
任意一个解都可以视为是将另一个解沿着竖直方向移动获得的。

例如:frac{dy}{dt}=cost
一般解为:y(t)=(sint)+C
其中C是任意常数,不同的解之间只有常数项不同,相当于将sint的函数图,沿着竖直方向移动获得的。

04-05SpecialCase

练习:

Use dfield to plot the slope field for frac{dy}{dt}=t(t^2?1) on a window with −2≤t≤2 and −1≤y≤1.

04-06Ex2

特例2

另一个特例是:
frac{dy}{dt}=f(y)
这样的斜率场是沿着水平直线上的各点的斜率方向均平行的。
任意一个解都可以视为是将另一个解沿着水平方向移动获得的。
例如:
frac{dy}{dt}=y(1-y)
其一般解为:
y(t)=frac{e^t}{1+e^t}

 

 

04-07SpecialCase2

练习:

04-08FieldsShow

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