微分方程笔记 12 阻尼谐振

阻尼谐振(Damped Harmonic Oscillation)

为我们之前提到的弹簧-重物系统增加上阻力。

前提假设:

  • 阻力与重物的速度成正比: F_d = -bfrac{dy}{dt}, b  data-recalc-dims= 0" />
  • 牛顿第二定律:F=ma
  • 胡克定律: F_s = -ky

变量:

  1. 自变量:t 时间
  2. 因变量:y 位移

获得阻尼振动的方程为:

F_s + F_d = F = ma = m frac{d^2y}{dt^2}
-ky -bfrac{dy}{dt} = m frac{d^2y}{dt^2}
mfrac{d^2y}{dt^2} + bfrac{dy}{dt} +ky = 0

可以令v = frac{dy}{dt},将上面方程降为一个一阶方程组:

frac{dy}{dt} = v

frac{dv}{dt} = -frac{k}{m}y - frac{b}{m}v

给定一个初始的位置y=3,令k,m不变,调节b值,看解的不同表现:

b = 0时,没有阻力:

12-01DHOb0

12-02DHObdot1

12-03DHObdot5

 

猜测阻尼振动的一般解

 mfrac{d^2y}{dt^2} + bfrac{dy}{dt} +ky = 0

猜测y(t) = e^{lambda t},其中lambda是一个需要计算得出的常数。

frac{dy}{dt} = lambda e^{lambda t}

frac{d^2y}{dt^2} = {lambda}^2 e^{lambda t}

带入方程获得:

m({lambda}^2 e^{lambda t}) + b(lambda e^{lambda t}) + k e^{lambda t} = 0
(m{lambda}^2 + blambda +k) e^{lambda t} = 0

左边是一个多项式乘以e^{lambda t},该多项式被称为特征多项式(characteristic polynomial)

因为我们关注的是lambda取值为多少能使得该多项式取值为0,因此又称m{lambda}^2 + blambda +k = 0为特征方程。

例子:m = 1,b = 3,k = 2

frac{d^2y}{dt^2} + 3frac{dy}{dt} + 2y = 0 特征方程为:

{lambda}^2 + 3lambda + 2 = 0 解为:

lambda = -2

lambda = -1

因此获得原方程的两组解:

y_1(t) = e^{-2t}

v_1(t) = -2e^{-2t}

y_2(t) = e^{-t}

v_2(t) = -e^{-t}

写成向量函数的形式为:

Y_1(t) = begin{pmatrix} e^{-2t}  -2e^{-2t} end{pmatrix} 对应初值为:

 Y_1(0) = begin{pmatrix} 1  -2 end{pmatrix}

Y_2(t) = begin{pmatrix} e^{-t}  -e^{-t} end{pmatrix} 对应初值为:

 Y_2(0) = begin{pmatrix} 1  -1 end{pmatrix}

下图中,有两个解对应于上面这两个,是哪两个? 12-04DHOThreeInitials

 

 

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