微分方程笔记 11 向量场、方向场和相位平面

向量场

回顾上节的弹簧-重物系统的一个具体例子:

begin{cases} frac{dy}{dt} = v  frac{dv}{dt} = -y end{cases}

看一下上面微分方程组的表现:

11-01CompGraph

 

11-02PhasePlane

如果用向量表示法来看该微分方程系统。 令向量Y(t)=begin{pmatrix} y(t)v(t) end{pmatrix}
想象一个y-v平面,给定一个t值,Y(t)则对应的是平面中的一点。对其求导获得frac{dY}{dt} = begin{pmatrix} frac{dy}{dt}  frac{dv}{dt} end{pmatrix},为微分方程组的左边。
F是向量Y的一个函数,且F(Y) = F(begin{pmatrix} y  v end{pmatrix}) = begin{pmatrix} v  -y end{pmatrix},为微分方程组的右边。
因而可以将原微分方程组改写为:frac{dY}{dt} = F(Y),即将一个原本为两个标量的微分方程组,变成了一个向量的微分方程。

用导数的“随着输入的微小变化,输出所相应的变化”理解来看,上面方程frac{dY}{dt} = F(Y)描述的是,随着t的微小变化,y-v平面中位置的相应变化。

据几个具体点,计算其导数:

 

F(begin{pmatrix} 1� end{pmatrix}) = begin{pmatrix}0-1end{pmatrix}

 

F(begin{pmatrix} 01 end{pmatrix}) = begin{pmatrix}1�end{pmatrix}

 

F(begin{pmatrix} -1-1 end{pmatrix}) = begin{pmatrix}-1�end{pmatrix}

 

导数的结果也是向量,且长度根据输入值得不同而不同。在y-v平面上绘制出不同位置出的导数所代表的向量,获得向量场(Vector Field):

11-04VectorField

如果只考虑向量的方向(均标准化为同样的长度),绘制出的便是方向场(Direction Field)

11-03DirectionField

自治方程组的向量表示

考虑一个方程组:

begin{cases} frac{dx}{dt} = f(x,y)  frac{dy}{dt} = g(x,y) end{cases}
根据微分方程组的右边定义一个向量场:

F(begin{pmatrix} x  y end{pmatrix}) = begin{pmatrix} f(x,y)  g(x,y) end{pmatrix}

我们定义一个关于t的一个输出为向量的函数:

Y(t) = begin{pmatrix} x(t)y(t) end{pmatrix}

将原本的方程组改写为:

frac{dY}{dt} = F(Y)

例子:

begin{cases} frac{dx}{dt} = -y  frac{dy}{dt} = x - 0.3y end{cases}

方程组对应的向量场为:

F(Y) = F(begin{pmatrix} x  y end{pmatrix}) = begin{pmatrix} -y  x - 0.3y end{pmatrix}

假设初值为F(begin{pmatrix} 0  1.5 end{pmatrix}) 则对应解的成分图为:

11-06ConGraph

将该解绘制在方向场上:

11-05SolutionCurveInDField

注意到:方向场之间能揭示,随着时间变化,方程组解的走势。而向量场在此基础上还能揭示,解变化的速度(向量的长度)。

例子

考虑一个两种生物竞争的环境

begin{cases} frac{dx}{dt} = 2x(1-frac{x}{2}) -xy  frac{dy}{dt} = 3y(1-frac{y}{3}) - 2xy end{cases}
可以理解为两种生物正常繁殖是依循罗吉斯特人口模型,而两者之间的相互作用会导致数量的下降。竞争中生物y受到的负面影响是生物x的两倍。

首先尝试计算平衡解,将方程组改写为:

begin{cases} frac{dx}{dt} = x(2-x-y)  frac{dy}{dt} = 3(3-y-2x) - 2xy end{cases}

不难得出3个平衡解为:(0,0),(0,3),(2,0),(1,1)

注意到(0,3),(2,0)这两个解是只存在一种生物的罗吉斯特模型的解。

方向场:

11-07TwoSpecies

可以看出在根据初值的不同,随着时间变化会出现两种趋势,看几个初值问题的解:

11-08TwoSolutions

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