微分方程笔记 10 微分方程组

微分方程组

弹簧-重物系统(Mass-Spring System)

假设有一个弹簧垂直挂在一个水平面下,现在给弹簧下方挂上一个重物。由牛顿第二定律有:
弹簧的拉力 = 挂着重物的质量 * 重物的加速度 F = ma = m frac{d^2y}{dt^2}
又由胡可定律:
弹簧的拉力 = 系数 * 弹簧的位置变化 F = -ky

令两者相等有:

mfrac{d^2y}{dt^2} = -ky
mfrac{d^2y}{dt^2} + ky = 0

这是一个二阶(二阶导数)自治(只有y没有t)微分方程

一般而言二阶自治微分方程包括:
1. 一个自变量
2. 一个因变量
3. 方程形式为:frac{d^2y}{dt^2} = f(x, frac{dy}{dt})

再有两个二阶自治方程的例子:
范德波尔方程(van der pol ):
frac{d^2x}{dt^2} - (1-x^2)frac{dx}{dt} + x = 0
达芬方程(duffing):
frac{d^2x}{dt^2} + bfrac{dx}{dt} + kx + x^3= 0

狐狸-兔子模型

开始进入一阶方程组的讨论。我们用最简单的捕猎(predator-prey)系统。假设捕食者是狐狸,猎物是兔子。

前提假设如下:
1. 如果没有狐狸,兔子的繁殖率与其当前数量成正比,并且没有上限
2. 如果没有兔子,狐狸的死亡率与其当前数量成正比
3. (兔子被狐狸吃掉的频率)与(狐狸与兔子相遇的频率)成正比
4. (狐狸繁殖率)与(兔子被捕杀的数量)成正比,即与(狐狸与兔子相遇的频率)成正比

变量:
+ 自变量:时间 t
+ 因变量:兔子的数量 R, 狐狸的数量 F

根据前提假设1,3:
frac{dR}{dt} = aR - bRF
根据前提假设2,4:
frac{dF}{dt} = - cF + dRF

两个方程一起,我们获得了方程组:
frac{dR}{dt} = aR - bRF
frac{dF}{dt} = - cF + dRF

其中参数a,b,c,d都是正数

上面的例子是一个一般一阶自治微分方程组,一般而言,一个一阶自治方程组包括:
1. 一个自变量
2. 两个因变量
3. 形式为:begin{cases} frac{dx}{dt} = f(x,y)  frac{dy}{dt} = g(x,y) end{cases}

平衡解是两个函数R(t),F(t)使得方程组中两个方程永远成立。

begin{cases} aR - bRF = R(a-bF) = 0  - cF + dRF = F(dR - c) = 0 end{cases}

得出两个平衡解:

begin{cases} R(t) = 0  F(t) = 0 end{cases}

以及:

begin{cases} R(t) = frac{c}{d}  F(t) = frac{a}{b} end{cases}

回到我们的捕猎方程组,考虑一个具体问题,令参数如下:
a = 2, b = 1.2, c = 1, d = 0.9
frac{dR}{dt} = 2R - 1.2RF
frac{dF}{dt} = - F + 0.9RF
不难发现有两组平衡解:(R(t),F(t) = (0,0)(R(t),F(t))=(10/9,5/3),若在R-F平面,称为相位平面(Phase Plane),这两组解对应于两个点。

现在假设初值为:(R_0, F_0) = (1.0, 0.5)
用数值近似方法看一下R(t)F(t)的表现:

 

10-01ComponentGraph
兔子的数量是淡蓝色的曲线,狐狸的数量是深蓝色的曲线,发现两者都是在上下震荡着。上面这个图称为成分图(component graph)

看一看相位平面

 

10-02PhasePlane
横轴是兔子的数量,纵轴是狐狸的数量。在相位平面的这个曲线,被称为解曲线(solution curve)

不同的初值,对应于相位平面内不同的解曲线,在同一个相位平面内,将方程组的多个解曲线绘制而出就成了相位图(phase portrait)

 

10-03PhasePortrait
3D 交互图! 拖动起来反应比较慢,比不上老师matlab里的图。

10-043D01从上往下看R-F平面

10-053D02换一个角度看R(t),F(t)t的变化

10-063D03本节开头引入的弹簧-重物系统mfrac{d^2y}{dt^2} + ky = 0虽然是一个单一的二阶微分方程,但是如果我们引入frac{dy}{dt} = v便可获得一个微分方程组:

frac{dy}{dt} = v
frac{dv}{dt} = -frac{k}{m}y
成为一个一阶方程组,这种方法称为降阶法。

弹簧-重物系统与我们的捕猎系统不同的一点在于:我们可以找到弹簧-重物系统的公式解,而无法找出捕猎系统的公式解。
考虑一个特殊情况,令k=m,则弹簧-重物系统简化为:
frac{dy}{dt} = v
frac{dv}{dt} = -y
下面这些函数都是该系统的解之一
y_1(t)=sint, y_2(t)=2sint, y_3(t)=cost

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *