复合函数

这是正在写的一本数学和Python的小书中的一节,感兴趣的移步 http://ryancheunggit.gitbooks.io/calculus-with-python/

复合函数

函数的复合(Composition):

函数fg的复合:fcirc g(x)=f(g(x)),可以理解为首先将x输入给函数g获得输出g(x)后将其进而输入给函数f,最终获得结果f(g(x))

  • 几个函数的复合结果仍然是一个函数:接受输入,给出输出
  • 任何函数都可以看成是若干个函数的复合
  • fcirc g(x)的定义域与g的定义域相同,但值域不一定与f的值域相同。

例如:f(x)= x+1,g(x)=x^2,h(x)=x^2+1,函数h可以视为fg复合后的结果。f的值域为mathbb{R},但h的值域为(1,infty)

在Python中我们可以很直观地对函数进行复合:

02-01 compFunc

我们也可以使用Python的lambda函数功能来简明地定义h:

02-02 compFunc2

逆函数(Inverse Function):

f^{-1}是一个与f进行复合后会得到fcirc f^{-1}(x)=f^{-1} circ f (x)=x的特殊函数。

函数与其反函数的函数图一定是关于直线y=x对称的:

02-03 inverse

高阶函数(Higher Order Functions):

我们可以不局限于仅将数值作为函数的输入输出,函数本身也可以作为输入和输出。

上面定义的函数text{horizontal_shift}(f,H),接受的输入是一个函数f个一个实数H,而输出是一个新的函数,新函数是将f沿着水平方向平移了距离H后得到的。

02-04 gplot

以高阶函数的观点看去,函数的复合便是将两个函数作为输入给复合函数,然后由其产生一个新的函数作为输出。复合函数可以如此定义:

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