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微分方程笔记 12 阻尼谐振

阻尼谐振(Damped Harmonic Oscillation)

为我们之前提到的弹簧-重物系统增加上阻力。

前提假设:

  • 阻力与重物的速度成正比: F_d = -bfrac{dy}{dt}, b  data-recalc-dims= 0" />
  • 牛顿第二定律:F=ma
  • 胡克定律: F_s = -ky

变量:

  1. 自变量:t 时间
  2. 因变量:y 位移

获得阻尼振动的方程为:

F_s + F_d = F = ma = m frac{d^2y}{dt^2}
-ky -bfrac{dy}{dt} = m frac{d^2y}{dt^2}
mfrac{d^2y}{dt^2} + bfrac{dy}{dt} +ky = 0

可以令v = frac{dy}{dt},将上面方程降为一个一阶方程组:

frac{dy}{dt} = v

frac{dv}{dt} = -frac{k}{m}y - frac{b}{m}v

给定一个初始的位置y=3,令k,m不变,调节b值,看解的不同表现:

b = 0时,没有阻力:

12-01DHOb0

12-02DHObdot1

12-03DHObdot5

 

猜测阻尼振动的一般解

 mfrac{d^2y}{dt^2} + bfrac{dy}{dt} +ky = 0

猜测y(t) = e^{lambda t},其中lambda是一个需要计算得出的常数。

frac{dy}{dt} = lambda e^{lambda t}

frac{d^2y}{dt^2} = {lambda}^2 e^{lambda t}

带入方程获得:

m({lambda}^2 e^{lambda t}) + b(lambda e^{lambda t}) + k e^{lambda t} = 0
(m{lambda}^2 + blambda +k) e^{lambda t} = 0

左边是一个多项式乘以e^{lambda t},该多项式被称为特征多项式(characteristic polynomial)

因为我们关注的是lambda取值为多少能使得该多项式取值为0,因此又称m{lambda}^2 + blambda +k = 0为特征方程。

例子:m = 1,b = 3,k = 2

frac{d^2y}{dt^2} + 3frac{dy}{dt} + 2y = 0 特征方程为:

{lambda}^2 + 3lambda + 2 = 0 解为:

lambda = -2

lambda = -1

因此获得原方程的两组解:

y_1(t) = e^{-2t}

v_1(t) = -2e^{-2t}

y_2(t) = e^{-t}

v_2(t) = -e^{-t}

写成向量函数的形式为:

Y_1(t) = begin{pmatrix} e^{-2t}  -2e^{-2t} end{pmatrix} 对应初值为:

 Y_1(0) = begin{pmatrix} 1  -2 end{pmatrix}

Y_2(t) = begin{pmatrix} e^{-t}  -e^{-t} end{pmatrix} 对应初值为:

 Y_2(0) = begin{pmatrix} 1  -1 end{pmatrix}

下图中,有两个解对应于上面这两个,是哪两个? 12-04DHOThreeInitials

 

 

微分方程笔记 11 向量场、方向场和相位平面

向量场

回顾上节的弹簧-重物系统的一个具体例子:

begin{cases} frac{dy}{dt} = v  frac{dv}{dt} = -y end{cases}

看一下上面微分方程组的表现:

11-01CompGraph

 

11-02PhasePlane

如果用向量表示法来看该微分方程系统。 令向量Y(t)=begin{pmatrix} y(t)v(t) end{pmatrix}
想象一个y-v平面,给定一个t值,Y(t)则对应的是平面中的一点。对其求导获得frac{dY}{dt} = begin{pmatrix} frac{dy}{dt}  frac{dv}{dt} end{pmatrix},为微分方程组的左边。
F是向量Y的一个函数,且F(Y) = F(begin{pmatrix} y  v end{pmatrix}) = begin{pmatrix} v  -y end{pmatrix},为微分方程组的右边。
因而可以将原微分方程组改写为:frac{dY}{dt} = F(Y),即将一个原本为两个标量的微分方程组,变成了一个向量的微分方程。

用导数的“随着输入的微小变化,输出所相应的变化”理解来看,上面方程frac{dY}{dt} = F(Y)描述的是,随着t的微小变化,y-v平面中位置的相应变化。

据几个具体点,计算其导数:

 

F(begin{pmatrix} 1� end{pmatrix}) = begin{pmatrix}0-1end{pmatrix}

 

F(begin{pmatrix} 01 end{pmatrix}) = begin{pmatrix}1�end{pmatrix}

 

F(begin{pmatrix} -1-1 end{pmatrix}) = begin{pmatrix}-1�end{pmatrix}

 

导数的结果也是向量,且长度根据输入值得不同而不同。在y-v平面上绘制出不同位置出的导数所代表的向量,获得向量场(Vector Field):

11-04VectorField

如果只考虑向量的方向(均标准化为同样的长度),绘制出的便是方向场(Direction Field)

11-03DirectionField

自治方程组的向量表示

考虑一个方程组:

begin{cases} frac{dx}{dt} = f(x,y)  frac{dy}{dt} = g(x,y) end{cases}
根据微分方程组的右边定义一个向量场:

F(begin{pmatrix} x  y end{pmatrix}) = begin{pmatrix} f(x,y)  g(x,y) end{pmatrix}

我们定义一个关于t的一个输出为向量的函数:

Y(t) = begin{pmatrix} x(t)y(t) end{pmatrix}

将原本的方程组改写为:

frac{dY}{dt} = F(Y)

例子:

begin{cases} frac{dx}{dt} = -y  frac{dy}{dt} = x - 0.3y end{cases}

方程组对应的向量场为:

F(Y) = F(begin{pmatrix} x  y end{pmatrix}) = begin{pmatrix} -y  x - 0.3y end{pmatrix}

假设初值为F(begin{pmatrix} 0  1.5 end{pmatrix}) 则对应解的成分图为:

11-06ConGraph

将该解绘制在方向场上:

11-05SolutionCurveInDField

注意到:方向场之间能揭示,随着时间变化,方程组解的走势。而向量场在此基础上还能揭示,解变化的速度(向量的长度)。

例子

考虑一个两种生物竞争的环境

begin{cases} frac{dx}{dt} = 2x(1-frac{x}{2}) -xy  frac{dy}{dt} = 3y(1-frac{y}{3}) - 2xy end{cases}
可以理解为两种生物正常繁殖是依循罗吉斯特人口模型,而两者之间的相互作用会导致数量的下降。竞争中生物y受到的负面影响是生物x的两倍。

首先尝试计算平衡解,将方程组改写为:

begin{cases} frac{dx}{dt} = x(2-x-y)  frac{dy}{dt} = 3(3-y-2x) - 2xy end{cases}

不难得出3个平衡解为:(0,0),(0,3),(2,0),(1,1)

注意到(0,3),(2,0)这两个解是只存在一种生物的罗吉斯特模型的解。

方向场:

11-07TwoSpecies

可以看出在根据初值的不同,随着时间变化会出现两种趋势,看几个初值问题的解:

11-08TwoSolutions

微分方程笔记 10 微分方程组

微分方程组

弹簧-重物系统(Mass-Spring System)

假设有一个弹簧垂直挂在一个水平面下,现在给弹簧下方挂上一个重物。由牛顿第二定律有:
弹簧的拉力 = 挂着重物的质量 * 重物的加速度 F = ma = m frac{d^2y}{dt^2}
又由胡可定律:
弹簧的拉力 = 系数 * 弹簧的位置变化 F = -ky

令两者相等有:

mfrac{d^2y}{dt^2} = -ky
mfrac{d^2y}{dt^2} + ky = 0

这是一个二阶(二阶导数)自治(只有y没有t)微分方程

一般而言二阶自治微分方程包括:
1. 一个自变量
2. 一个因变量
3. 方程形式为:frac{d^2y}{dt^2} = f(x, frac{dy}{dt})

再有两个二阶自治方程的例子:
范德波尔方程(van der pol ):
frac{d^2x}{dt^2} - (1-x^2)frac{dx}{dt} + x = 0
达芬方程(duffing):
frac{d^2x}{dt^2} + bfrac{dx}{dt} + kx + x^3= 0

狐狸-兔子模型

开始进入一阶方程组的讨论。我们用最简单的捕猎(predator-prey)系统。假设捕食者是狐狸,猎物是兔子。

前提假设如下:
1. 如果没有狐狸,兔子的繁殖率与其当前数量成正比,并且没有上限
2. 如果没有兔子,狐狸的死亡率与其当前数量成正比
3. (兔子被狐狸吃掉的频率)与(狐狸与兔子相遇的频率)成正比
4. (狐狸繁殖率)与(兔子被捕杀的数量)成正比,即与(狐狸与兔子相遇的频率)成正比

变量:
+ 自变量:时间 t
+ 因变量:兔子的数量 R, 狐狸的数量 F

根据前提假设1,3:
frac{dR}{dt} = aR - bRF
根据前提假设2,4:
frac{dF}{dt} = - cF + dRF

两个方程一起,我们获得了方程组:
frac{dR}{dt} = aR - bRF
frac{dF}{dt} = - cF + dRF

其中参数a,b,c,d都是正数

上面的例子是一个一般一阶自治微分方程组,一般而言,一个一阶自治方程组包括:
1. 一个自变量
2. 两个因变量
3. 形式为:begin{cases} frac{dx}{dt} = f(x,y)  frac{dy}{dt} = g(x,y) end{cases}

平衡解是两个函数R(t),F(t)使得方程组中两个方程永远成立。

begin{cases} aR - bRF = R(a-bF) = 0  - cF + dRF = F(dR - c) = 0 end{cases}

得出两个平衡解:

begin{cases} R(t) = 0  F(t) = 0 end{cases}

以及:

begin{cases} R(t) = frac{c}{d}  F(t) = frac{a}{b} end{cases}

回到我们的捕猎方程组,考虑一个具体问题,令参数如下:
a = 2, b = 1.2, c = 1, d = 0.9
frac{dR}{dt} = 2R - 1.2RF
frac{dF}{dt} = - F + 0.9RF
不难发现有两组平衡解:(R(t),F(t) = (0,0)(R(t),F(t))=(10/9,5/3),若在R-F平面,称为相位平面(Phase Plane),这两组解对应于两个点。

现在假设初值为:(R_0, F_0) = (1.0, 0.5)
用数值近似方法看一下R(t)F(t)的表现:

 

10-01ComponentGraph
兔子的数量是淡蓝色的曲线,狐狸的数量是深蓝色的曲线,发现两者都是在上下震荡着。上面这个图称为成分图(component graph)

看一看相位平面

 

10-02PhasePlane
横轴是兔子的数量,纵轴是狐狸的数量。在相位平面的这个曲线,被称为解曲线(solution curve)

不同的初值,对应于相位平面内不同的解曲线,在同一个相位平面内,将方程组的多个解曲线绘制而出就成了相位图(phase portrait)

 

10-03PhasePortrait
3D 交互图! 拖动起来反应比较慢,比不上老师matlab里的图。

10-043D01从上往下看R-F平面

10-053D02换一个角度看R(t),F(t)t的变化

10-063D03本节开头引入的弹簧-重物系统mfrac{d^2y}{dt^2} + ky = 0虽然是一个单一的二阶微分方程,但是如果我们引入frac{dy}{dt} = v便可获得一个微分方程组:

frac{dy}{dt} = v
frac{dv}{dt} = -frac{k}{m}y
成为一个一阶方程组,这种方法称为降阶法。

弹簧-重物系统与我们的捕猎系统不同的一点在于:我们可以找到弹簧-重物系统的公式解,而无法找出捕猎系统的公式解。
考虑一个特殊情况,令k=m,则弹簧-重物系统简化为:
frac{dy}{dt} = v
frac{dv}{dt} = -y
下面这些函数都是该系统的解之一
y_1(t)=sint, y_2(t)=2sint, y_3(t)=cost

微分方程笔记 9 线性微分方程

9 线性微分方程

9.1 线性(linearity)

例子
考虑如下问题:
一个容积200升的容器中有100升盐水,盐的含量为1000克。假设盐浓度35克每升的盐水以每分钟4升的速度注入容器,完全混合的溶液以每分钟2升的速度流出。
用微分方程描述该容器内盐的含量,则盐含量的变化率为盐流入的速率减去盐流出的速率:

frac{ds}{dt}= 35times 4 - 2frac{s}{100+(4-2)t}
qquad = 140 - frac{s}{50+t}

加上s(0)=1000,我们便获得了一个初值问题。

本节内容便是讨论如何解这一类的微分方程。

线性微分方程
我们称一阶微分方程frac{dy}{dt}=f(t,y)是线性的,如果其可以写成如下形式:

frac{dy}{dt}=a(t)y+b(t)

即右边能写成因变量(这里是y)的线性函数的形式。

齐次与非齐次
对于线性微分方程,又分两大类:

  1. 齐次(homogeneous),b(t)=0
  2. 非齐次(nonhomogeneous),b(t)neq 0

例如:

  • 线性且齐次:frac{dy}{dt}=(cost)y
  • 线性非齐次:frac{dy}{dt}=y-t^2
  • 非线性: frac{dy}{dt}=y^2

我们上面获得的盐水问题就是线性非齐次的。

线性齐次=可分
注意到线性齐次微分方程式是我们之前所提到的可分微分方程,可以通过两边同除以y后同时积分的方法来求解。

frac{dy}{dt}=a(t)y
frac{1}{y}frac{dy}{dt}=a(t)
int frac{1}{y}dy = int a(t)dt

看一个具体的线性齐次微分方程的例子:

frac{dy}{dt}=frac{-ty}{1+t^2}
frac{1}{y} frac{dy}{dt} = frac{-t}{1+t^2}
int frac{1}{y} dy = int frac{-t}{1+t^2} dt
ln(y) = -frac{1}{2}ln(1+t^2) + C
ln(y) = ln(frac{1}{1+t^2}) + C
y = (frac{1}{sqrt{1+t^2}})(e^C)
y = (frac{1}{sqrt{1+t^2}})(C)
y(t) = frac{C}{sqrt{1+t^2}}

斜率场和若干个解的图如:

09-01slopeFieldofHomo

可以看出其各个解之间的差距只是k值得不同。如果获得了一个解,便可以通过乘以一个值得方法来获得任何一个其他解。

齐次微分方程的线性原理(The Linearity Principle for Homogeneous Equations)
如果y_h(t)是一个齐次线性微分方程frac{dy}{dt}=a(t)y的解,那么将其乘以任何一个常数k获得的y_k(t)=ky_h(t)也同样是一个解。

检该原理非常简单:

frac{dy_k}{dt}=k(frac{dy_h}{dt})
qquad = k(a(t)y_h)
qquad = a(t)(ky_h)
qquad = a(t)(y_k(t))

一阶方程的扩展线性原理(The Extended Linearity Principle for First-Order Equations)

考虑一个一阶非齐次线性方程(NHE):

frac{dy}{dt}=a(t)y + b(t)

以及其对应的齐次方程(AHE):

frac{dy}{dt}=a(t)y

  1. 如果y_h(t)是齐次方程的任意一个解,而y_p(t)是相应的非齐次方程的任意一个解,那么y_h(t)+y_p(t)也是该非齐次方程的一个解。
  2. y_h(t)y_p(t)分别是非齐次方程的两个解,那么y_h(t)-y_p(t)是相应齐次方程的一个解。

因此,如果y_h(t)y_p(t)分别是NHE和AHE的两个一般解,且y_h(t)非零,则ky_h(t)+y_p(t)是非齐次方程的一般解。

即:

一个非齐次线性方程的一般解可由(非齐次方程的任意一个解)和(相应齐次方程的一般解)相加获得

例子,非齐次线性方程:
frac{dy}{dt}=frac{-ty}{1+t^2}+frac{2t^2+1}{4t^2+4}
现在知道其有一个特殊解y_p(t)=frac{t}{4}

通过上面,我们已经知道对应的齐次线性方程的一般解为:
y(t) = frac{C}{sqrt{1+t^2}}

因此上述非齐次方程的其一般解为:
y(t) = frac{t}{4} + frac{C}{sqrt{1+t^2}}

 

09-02slopeFieldofNonHomo

 

这个非齐次的线性方程的斜率场和解,可以看成是对应的齐次线性方程斜率场合解调整后的结果。

例题:
若已知y_p(t)=frac{a}{t^2}是微分方程frac{dy}{dt}=2ty-frac{6}{t^2}-frac{6}{t^3}的一个特殊解,(1)求a的值,(2)求方程的一般解,(3)求y(1)=3+2e初值问题的解。

(1):

frac{dy_p(t)}{dt}=frac{d}{dt}frac{a}{t^2}
qquad = -2at^{-3}

frac{dy}{dt}=2ty-frac{6}{t^2}-frac{6}{t^3}
qquad = 2tfrac{a}{t^2}-frac{6}{t^2}-frac{6}{t^3}
qquad = frac{2a-6}{t}-frac{6}{t^3}

 

因此有:frac{2a-6}{t}-frac{6}{t^3}= -2at^{-3}
求解出:a=3

因此得到非齐次线性方程的一个一般解:frac{3}{t^2}

(2):
对应的齐次线性方程为:frac{dy}{dt}=2ty

用分离变量法不难求得其一般解为:Ce^{t^2}

因此非齐次方程的一般解为:y(t)=y_p(t)+y_h(t)=frac{3}{t^2}+Ce^{t^2}

(3)
带入初值到一般解中,求出C=2,因此初值问题解为:y(t)=frac{3}{t^2}+2e^{t^2}

 

9.2 猜解法

对于一个给定的非齐次线性方程,通过如下方法求解一般解:
1. 解对应的齐次线性方程
2. 猜测出非齐次方程的一个特殊解
3. 将两者相加获得非齐次线性方程的一般解

例子:
frac{dy}{dt}= -2y+3e^{-t/2}
对应的齐次方程为:
frac{dy}{dt}=-2y
其一般解为:y(t)=Ce^{-2t}

对非齐次方程进行变换
frac{dy}{dt}+2y=3e^{-frac{t}{2}}
考虑什么函数求导后加上2倍的本身可以获得3e^{-frac{t}{2}}

猜测:

y_p=alpha e^{-t/2}
frac{dy_p}{dt}+2y_p
qquad = -frac{alpha}{2}e^{-frac{t}{2}}+2alpha e^{-frac{t}{2}}
qquad = frac{3}{2}alpha e^{-frac{t}{2}}

alpha = 2时,y_p(t)= 2e^{-frac{t}{2}}为非齐次方程的一个特殊解,因此获得一般解为:
y(t)=2e^{-frac{t}{2}}+Ce^{-2t}

看一看方程的解和斜率场,洋红色的一条线代表的是上面我们求出的特殊解,注意到所有的解在随着trightarrow infty时,都在趋近于我们求出来的特殊解:

09-03GuessEx1

 

例子2:

frac{dy}{dt}=-y+2cos(4t)
对应齐次方程的一般解为:y_h(t)=Ce^{-t}

猜测:

 

y_p = alpha cos4t + beta sin4t
frac{y_p}{t}+y
qquad = 4alpha sin4t -4beta cos4t + alpha cos4t + beta sin4t
qquad = (4alpha + beta)sin4t + (alpha - 4beta)cos4t

要使得其等于2cos4t,获得方程组:

begin{cases} 4alpha+beta = 0 alpha-4beta =2 end{cases}
implies
begin{cases} alpha = frac{2}{17}  beta = frac{8}{17} end{cases}

 

因此获得非齐次方程的特殊解:
y_p(t) = frac{2}{17}cos4t + frac{8}{17}sin4t
方程的一般解为:
y(t)=frac{2}{17}cos4t + frac{8}{17}sin4t+Ce^{-t}

看一看方程的解和斜率场,蓝色的一条线代表的是上面我们求出的特殊解,注意到所有的解在随着trightarrow infty时,都在趋近于我们求出来的特殊解,因此这个特殊解又称为稳态解(steady state solution)

09-04GuessEx2

 

例子3:
frac{dy}{dt}=-3y+2e^{-3t}
相应齐次方程的一般解为:Ce^{-3t}
猜测y_p(t)=alpha e^{-3t},将不会有效果,我们永远不应该猜测齐次方程的解为对应非齐次方程的解。
而是猜测:

y_p(t)=alpha t e^{-3t}
frac{dy_p}{dt}+3y_p = alpha (e^{-3t}-3te^{-3t}) + 3alpha t e^{-3t}
qquad = alpha e^{-3t}

要其为2e^{-3t},则需要alpha = 2

因此特殊解为:y_p(t) = 2te^{-3t}
一般解为:(k+2t)e^{-3t}

同样看看图:

09-05GuessEx3

9.3 神奇函数(积分因子 integrating factor)

将非齐次方程frac{dy}{dt}=a(t)y+b(t)进行改写为frac{dy}{dt}+g(t)y=b(t)
即,令g(t) = -a(t)

注意到,此时微分方程的左边frac{dy}{dt}+g(t)y"看上去像"是用乘积法则求导后的结果。

我们希望找到一个函数mu (t)使得mu (t) (frac{dy}{dt} + g(t)y) = frac{d}{dt}(mu(t)y)能够成立。

mu (t)frac{dy}{dt} + mu (t) g(t)y = mu (t) frac{dy}{dt} + frac{dmu}{dt}y
frac{dmu}{dt} = mu (t) g(t)
frac{dmu}{dt} = g(t) mu

得到一个线性的齐次方程
其解为mu (t) = ke^{int g(t)dt},因为我们只需要任意一个解就可以了,令k=1获得一个满足条件的函数mu (t) = e^{int g(t)dt}

在原方程两边同时乘以mu (t),便可以求解了。

方法小结:
1. 给定一个非齐次微分方程:frac{dy}{dt}+g(t)y = b(t)
2. 令积分因子为:mu (t) = e^{int g(t)dt}
3. 方程两边同时乘以积分因子获得:frac{d}{dt}(mu (t)y)=mu (t)b(t)
4. 两边同时针对t进行积分:mu (t)y = int mu(t)b(t)dt

例子:
方程:frac{dy}{dt}= frac{y}{t}+tcost
积分因子为:mu (t) = e^{int -frac{1}{t}dt} = e^{-ln(t)} = e^{ln(frac{1}{t})}=frac{1}{t}
两边同乘积分因子:

frac{1}{t}frac{dy}{dt} - frac{1}{t} frac{y}{t} = cost
frac{1}{t}(frac{dy}{dt}) - frac{1}{t^2}y = cost
frac{d}{dt}(frac{1}{t}y)=cost

两边同时积分:

frac{1}{t}y = sint + k
y(t) = tsint + kt

从上到下分别为k = 1, k = 0, k = -1的解

09-06FactorPlot1
回到本节开始时候的方程:
frac{ds}{dt}= 140 - frac{s}{50+t},qquad s(0) = 1000
frac{ds}{dt} + frac{s}{50+t} = 140

积分因子为:

mu(t) = e^{int frac{1}{50+t}dt} = e^{ln(50+t)} = 50+t

方程两边同时乘以积分因子:

(50+t)frac{ds}{dt} + s = 140(50+t)
frac{d}{dt}((50+t)s) = 140(50+t)

两边同时积分:
(50+t)s = 7000t + 70t^2 + k
s(0) = 1000带入上式获得k = 50000

得到最终解:

s = frac{7000t + 70t^2+50000}{50+t}

 

 

微分方程笔记 8 分歧

分歧(Bifurcations)

本节关注的是,根据参数值的不同,微分方程解的长远表现会有怎样的不同。

分歧:参数值发生很小变化,解的长远表现发生很大的变化。

回顾之前介绍的罗吉斯特增长模型:
frac{dP}{dt}=kP(1-frac{P}{N})
现假设用该模型描述养鱼场鱼类的繁殖,并考虑加入一个每年固定的捕鱼率C
frac{dP}{dt}=kP(1-frac{P}{N})-C
模型中参数有3个:k,NC,假设k,N均限定不变,只余C是可变的,考察改变C的值,对方程解的长远表现有何影响。

首先考虑到kP(1-frac{P}{N})是开口朝下的抛物线,若要方程有平衡解,则需要C小于抛物线的最大值,即:
Cleq frac{kN}{4}

考虑同类型方程中更简单一点的例子:
frac{dy}{dt}=y(1-y)-a
其中a为参数,试看调整a的值,导致的相线变化:

08-01phaseLines
如果将上图中各个红点链接起来就获得了分歧图(bifurcation diagram),抛物线所向的一面是有平衡解的范围,相反则是无平衡解的范围,分歧值(bifurcation value)出现在a=frac{1}{4}。称a<frac{1}{4}的所有系统是性质上等效(qualitatively equivalent),称ageq frac{1}{4}的所有系统是性质上等效的。

另一个例子:
frac{dy}{dt}=y^3-ay

 

08-02bifurcationDiagram.png

 

绘制其分歧图,则只需要将上图中红点链接起来即可。

 

 

08-03bifurcationDiagramBetter.png

分歧点可能不止一个,例如:

frac{dy}{dt}= (y^2-alpha)(y^2-4)
分歧点有两个,a=0a=4

见分歧图:

08-04ex.png